نصائح مفيدة

كيفية العثور على منتج ناقلات ناقلات

يمكن العثور على منتج المتجهات للمتجهات ، التي تعتمد صيغتها على البيانات الأولية للمشكلة ، بطريقتين.

حيث المتجهات $ overline، overline، overline تسمى $ متجهات الوحدة الخاصة بالمحاور المقابلة $ Ox، Oy، Oz $.

يمكن توسيع المحدد في الصيغة الثانية على السطر الأول:

في المجموع ، تأخذ الصيغة الثانية الصيغة النهائية القصيرة:

  1. عند تغيير ترتيب العوامل ، تنعكس العلامة: $$ [ overline ، ​​overline] = - [ overline، overline] $$
  2. ثابت Stakeout لعلامة المنتج: $$ lambda [ overline، overline] = [ lambda overline ، ​​overline] = [ overline ، ​​lambda overline] $$
  3. $$ [ overline + overline، overline] = [ overline ، ​​overline] + [ overline، overline] $$

أمثلة الحل

ابحث عن المنتج المتجه للناقلات المعطاة بواسطة الإحداثيات

نقوم بتكوين محدد ، السطر الأول الذي يتكون من متجهات الوحدة ، والثاني والثالث من إحداثيات المتجهات $ overline $ و $ overline $:

يمكن كتابة الإجابة المستلمة في شكل مناسب:

إذا لم تتمكن من حل مشكلتك ، فأرسلها إلينا. سوف نقدم حل مفصل. سوف تكون قادرًا على التعرف على عملية الحساب والحصول على المعلومات. هذا سوف يساعد على الحصول على الائتمان من المعلم في الوقت المناسب!

تعريف
الجواب
$$ overline times overline = (5, -1, 3) $$

المعنى الهندسي

  • الوحدة النمطية للمنتج المتجه للمتجهات $ overline $ و $ overline $ بالمعنى الهندسي يساوي مساحة متوازي الاضلاع مبني على هذه المتجهات: $ S_ = | overline times overline| $$
  • نصف هذه الوحدة النمطية هو مساحة المثلث: $$ S_ Delta = frac <1> <2> | overline times overline | $$
  • إذا كان المنتج المتجه صفراً $ overline times overline = 0 $ ، ثم تكون المتجهات متداخلة.

باستخدام المعنى الهندسي ، ولا سيما الصيغة الثانية ، نجد نصف معامل المنتج المتجه للمتجهات.

$$ ابدأ overline& overline& overline 2 & 1 & 3 - 1 & 2 & 1 end = overline(1-6) - overline(2 + 3) + overline(4 + 1) = -5 overline - 5 overline + 5 overline $$

نحسب الوحدة النمطية للناقل الناتج باعتبارها الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثيات هذا المتجه:

وفقًا لإيجاد منطقة المثلث ، لدينا:

الزاوية بين المتجهات

حتى يتسنى لنا تقديم مفهوم منتج متجه يتكون من متجهين ، يجب علينا أولاً التعامل مع مفهوم مثل الزاوية بين هذه المتجهات.

دعنا نعطي متجهين $ overline<α>$ و $ overline<β>$. تأخذ في الفضاء بعض النقطة $ O $ ووضع ناقلات $ overline بعيدا عن ذلك<α>= overline$ و $ overline<β>= overline$ ، ثم تسمى الزاوية $ AOB $ الزاوية بين هذه المتجهات.

الشكل 1. الزاوية بين المتجهات. Author24 - التبادل عبر الإنترنت من أعمال الطلاب

وعلاوة على ذلك ، سوف نفترض أنه إذا ناقلات $ overline<α>$ و $ overline<β>$ هي اتجاهات مشتركة ، أو إذا كان أحدهما أو كليهما يساوي صفرًا ، فستكون الزاوية بين هذه المتجهات $ 0 ^ circ $.

مفهوم المنتج المتجه للناقلات وصيغة الاكتشاف

منتج متجه اثنين من المتجهات هو متجه عمودي على كل من هذه المتجهات ، وطولها سيكون مساويا لمنتج أطوال هذه المتجهات مع جيب الزاوية بين هذه المتجهات ، وهذا المتجه مع اثنين من الأحرف الأولى له نفس اتجاه نظام الإحداثيات الديكارتية.

حاول أن تطلب المساعدة من المعلمين

رياضيا ، يبدو مثل هذا:

  1. $ | overline<α>س overline<β>| = | overline<α>|| overline<β>| sin⁡∠ ( overline<α>، overline<β>)$
  2. $ overline<α>س overline<β>over overline<α>$ ، $ overline<α>س overline<β>over overline<β>$
  3. $ ( overline<α>س overline<β>، overline<α>، overline<β>) $ و $ ( overline، overline، overline) $ موجهة على قدم المساواة

الشكل 2. نتاج ناقلات. Author24 - التبادل عبر الإنترنت من أعمال الطلاب

من الواضح أن المنتج الخارجي للناقلات سيكون مساوياً للناقل صفر في حالتين:

  1. إذا كان طول المتجه واحد أو كلاهما صفر.
  2. إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات ستكون $ 180 ^ circ $ أو $ 0 ^ circ $ (حيث في هذه الحالة يكون الجيب مساويًا للصفر).

اطرح سؤالاً على المتخصصين واحصل على
الرد في 15 دقيقة!

لرؤية بصريًا كيف يمكن العثور على منتج المتجهات من المتجهات ، ضع في اعتبارك الأمثلة التالية من الحلول.

ابحث عن طول المتجه $ overline<δ>$ ، والذي سيكون نتيجة منتج متجه للمتجهات ، مع إحداثيات $ overline<α>= (0.4.0) $ و $ overline<β>=(3,0,0)$.

قرار.

نحن نمثل هذه المتجهات في مساحة الإحداثيات الديكارتية:

الشكل 3. المتجهات في الفضاء الديكارتي تنسيق. Author24 - التبادل عبر الإنترنت من أعمال الطلاب

نرى أن هذه المتجهات تقع على محاور $ Ox $ و $ Oy $ ، على التوالي. لذلك ، ستكون الزاوية بينهما $ 90 ^ circ $. العثور على أطوال هذه المتجهات:

بعد ذلك ، حسب التعريف 1 ، نحصل على الوحدة النمطية $ | overline<δ>|$

$ | overline<δ>| = | overline<α>|| overline<β>| sin90 ^ circ = 4 cdot 3 cdot 1 = 12 $

حساب المنتج المتجه بواسطة إحداثيات المتجهات

التعريف 1 يعني على الفور طريقة العثور على منتج متجه لاثنين من المتجهات. نظرًا لأن المتجه ، بالإضافة إلى القيمة ، له اتجاه أيضًا ، فمن المستحيل العثور عليه فقط بمساعدة كمية عددية. ولكن إلى جانب ذلك ، هناك أيضًا طريقة للعثور على المتجهات باستخدام إحداثيات البيانات المقدمة إلينا.

دعونا نعطي ناقلات $ overline<α>$ و $ overline<β>$ ، والتي سيكون لها الإحداثيات $ (α_1 ، α_2 ، α_3) $ و $ (β_1 ، β_2 ، β_3) $ ، على التوالي. بعد ذلك ، يمكن إيجاد متجه المنتج المتجه (أي إحداثياته) من خلال الصيغة التالية:

خلاف ذلك ، وكشف المحدد ، نحصل على الإحداثيات التالية

$ overline<α>س overline<β>=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

ابحث عن المنتج المتجه لـ vector $ / overline<α>$ و $ overline<β>$ مع الإحداثيات $ (0،3،3) $ و $ (- 1،2،6) $.

قرار.

نستخدم الصيغة أعلاه. نحصل على

خواص المنتج المتجه للناقلات

لالمختلط التعسفي ثلاثة ناقلات $ overline<α>$ ، $ overline<β>$ و $ overline<γ>الخصائص التالية هي $ ، وكذلك $ r∈R:

ستتبع دقة هذه الخاصية من الفقرة الثالثة من التعريف 1.

$ (r overline<α>) س overline<β>= r ( overline<α>س overline<β>) $ و $ overline<α>x (r overline<β>) = r ( overline<α>س overline<β>)$

من صيغة العثور على منتج المتجه نحصل على:

$ overline<α>x ( overline<β>+ overline<γ>) = overline<α> overline<β>+ overline<α> overline<γ>$ و $ ( overline<α>+ overline<β>) overline<γ>= overline<α> overline<γ>+ overline<β> overline<γ>$.

يمكن أيضًا التحقق من هذه الخاصية للمنتج المتجه للمتجهات باستخدام الصيغة.

تسمى الخاصية التالية المعنى الهندسي لمنتج المتجه:

طول المنتج المتجه للمتجه يساوي مساحة متوازي الاضلاع الذي يجب بناؤه بينهما

الشكل 4. طول المتجهات لمنتج متجه. Author24 - التبادل عبر الإنترنت من أعمال الطلاب

ابحث عن مساحة متوازي الاضلاع الذي له الإحداثيات $ (3،0،0) $ ، $ (0،0،0) $ ، $ (0،8،0) $ و $ (3،8،0) $.

قرار.

أولاً ، نعرض هذا المخطط المتوازي في مساحة الإحداثيات (الشكل 5):

الشكل 5. متوازي الاضلاع في تنسيق الفضاء. Author24 - التبادل عبر الإنترنت من أعمال الطلاب

نرى أن الجانبين من هذا متوازي الاضلاع مبان باستخدام متجهات متداخلة مع إحداثيات $ overline<α>= (3،0،0) $ و $ overline<β>= (0.8.0) دولار. باستخدام الخاصية الرابعة ، نحصل على:

ابحث عن المتجه $ overline<α>س overline<β>$:

لم نعثر على الجواب
لسؤالك؟

فقط اكتب ما أنت
بحاجة الى مساعدة

أمثلة للمهام على حساب منتج متجه للمتجهات

مثال 2
أوجد مساحة المثلث بواسطة المتجهات المعينة $$ overline = (2،1،3) $$ $$ overline = (-1,2,1) $$
قرار
ك 123
21-2

= أنا (2 · (-2) - 3 · 1) - ي (1 · (-2) - 2 · 3) + ك (1 · 1 - 2 · 2) =

الحل: ابحث عن منتج المتجه لهذه المتجهات:

=
-12-2
21-1

= أنا (2 · (-1) - (-2) · 1) - ي ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + ك ((-1) · 1 - 2 · 2) =

من خصائص المنتج المتجه:

SΔ = 1 2 | أ × ب | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

سيتم حذف أي تعليقات فاحشة ، وسيتم إدراج مؤلفيها في القائمة السوداء!

مرحبا بكم في OnlineMSchool.
اسمي دوفيك ميخائيل فيكتوروفيتش. أنا صاحب هذا الموقع ومؤلفه ، وقد كتبت كل المواد النظرية ، كما طورت تمارين وآلات حاسبة على الإنترنت يمكنك استخدامها لدراسة الرياضيات.

تعريف جبري

هناك أيضًا طريقة تحليلية لتحديد الثلاثية اليمنى واليسرى من المتجهات ، مما يتطلب ضبط المساحة قيد الدراسة حق أو اليسار تنسيق النظم ، وليس بالضرورة مستطيلة ومتعامدة.

  • إذا كان العامل المحدد موجبًا ، فعندئذٍ يكون الثلاثي متجهًا لديه نفس الاتجاه مثل نظام الإحداثيات.
  • إذا كان المحدد سالبًا ، فعندئذٍ يكون الثلاثي متجهًا له اتجاه عكس اتجاه نظام الإحداثيات.
  • إذا كان المحدد هو الصفر ، تكون المتجهات متحد المستوى (يعتمد خطيًا).

ملاحظات تحرير

كتعريف ، يمكنك استخدام التعبير التالي لمنتج متجه في الإحداثيات في نظام الإحداثيات المستطيل الأيمن (أو الأيسر).

أيضًا ، يمكن اعتبار مجموعة من الخصائص الجبرية لمنتج متجه بمثابة التعريف الأولي.

التعريف الهندسي

تعريف اليد تحرير

تعريف جبري

هناك أيضًا طريقة تحليلية لتحديد الثلاثية اليمنى واليسرى من المتجهات ، مما يتطلب ضبط المساحة قيد الدراسة حق أو اليسار تنسيق النظم ، وليس بالضرورة مستطيلة ومتعامدة.

  • إذا كان العامل المحدد موجبًا ، فعندئذٍ يكون الثلاثي متجهًا لديه نفس الاتجاه مثل نظام الإحداثيات.
  • إذا كان المحدد سالبًا ، فعندئذٍ يكون الثلاثي متجهًا له اتجاه عكس اتجاه نظام الإحداثيات.
  • إذا كان المحدد هو الصفر ، تكون المتجهات متحد المستوى (يعتمد خطيًا).

ملاحظات تحرير

تعتمد تعاريف ثلاثية الاتجاه "الأيمن" و "اليسار" على اتجاه الفضاء ، ولكنها لا تتطلب ضبط أي نظام إحداثي في ​​المساحة قيد النظر ، حيث أن تعريف منتج المتجه نفسه لا يتطلب. في نفس الوقت صيغة ستختلف إحداثيات المنتج المتجه من حيث إحداثيات متجهات المصدر في علامة في نظام الإحداثيات المستطيل الأيمن والأيسر.

يتم استدعاء جميع المتجهات ثلاثية الاتجاه اليمنى (ومن اليسار إلى الآخر) المنحى على قدم المساواة.

إعطاء الاتجاه الفضاء ، ويسمى نظام الإحداثيات حق (اليسار) إذا كان ثلاثة من المتجهات مع إحداثيات (1 ، 0 ، 0) < displaystyle (1،0،0)> ، (0 ، 1 ، 0) < displaystyle (0،1،0)>، (0، 0 ، 1) < displaystyle (0،0،1)> يمين (يسار).

التعريف الهندسي والتعريف باليد بنفسك طلب اتجاه الفضاء. يعرّف التعريف الجبري طريقة لتقسيم الثلاثية من المتجهات غير المستوية إلى فئتين من المتجهات الموجهة ذات الاتجاه المتماثل ، لكنه لا يحدد اتجاه الفضاء ، لكن الاستخدامات تم تعيينه بالفعل - وهو النظام الذي يتم على أساسه اعتبار نظام الإحداثيات المعين الأيمن أو الأيسر. علاوة على ذلك ، إذا كان اتجاه نظام الإحداثيات غير معروف ، فيمكنك مقارنة علامة المحدد مع علامة المحددات لثلاثية أخرى من ناقلات غير مستوية ، يكون اتجاهها معروفًا - إذا تزامنت العلامات ، فإن الاتجاهات ثلاثية الاتجاه تكون متساوية ، إذا كانت العلامات ثلاثية الاتجاه - في اتجاه المعاكس.

شاهد الفيديو: أضخم 5 عمليات نقل فى العالم . !! (ديسمبر 2019).